Question

3．已知函數f（x）=log_a（1-x）+log_a（3+x）（0＜a＜1）
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）的最小值為-4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ 3+x＞0\end{array}\right.$得函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）的最小值為-4，則log_a4=-4，解得a的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ 3+x＞0\end{array}\right.$得：x∈（-3，1），
故函數f（x）的定義域為（-3，1），…6分
（2）函數f（x）=log_a（1-x）+log_a（3+x）=log_a（-x²-2x+3），
∵0＜a＜1，
故當-x²-2x+3取最大值4時，函數f（x）取最小值為-4，
即log_a4=-4，
解得：$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…12分

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，函數的定義域，函數的最值及其幾何意義，難度中檔．