Question

13．如果P：關于x的不等式x²+2ax+4＞0對一切 x∈R都成立，q：關于 x 的方程 4x²+4（a-2）x+1=0無實數根，且P與q中有且只有一個是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 當命題p，q是真命題時，分別求得a的范圍，可得這2個命題中只有一個是真命題時，實數a的取值范圍

解答 解：若命題p為真，則△=（2a）²-16＜0⇒-2＜a＜2．
若命題q為真，△=[4（a-2）]²-16＜0，⇒1＜a＜3．
當p為真q為假時：⇒-2＜a＜2且a≤1或a≥3⇒-2＜a≤1
當p為假q為真時：⇒-a≤-2或a≥2且1＜a＜3⇒2≤a＜3
綜上：實數a的取值范圍為：⇒-2＜a≤1或2≤a＜3

點評 本題主要考查了命題的真假的判斷和應用，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．