Question

18．長方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是線段DC上一動點，且0＜FC＜1．將△AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面ABD內作DK⊥AB于K，設AK=t，則t的值可能為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時與隨著F點到C點時，分別求出此兩個位置的t值即可得到所求的答案．

解答 解：如圖，過D作DG⊥AF，垂足為G，連接GK，
∵平面AFD⊥平面ABC，又DK⊥AB，
∴AB⊥平面DKG，
∴AB⊥GK．
容易得到，當F接近E點時，K接近AB的中點，
∵長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點，
∴計算可得：AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，KG=$\frac{1}{2}$，
∴t=AK=$\frac{1}{2}$，
當F接近C點時，可得三角形ADG和三角形ADC相似．
∴$\frac{AG}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，可解得AG=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
可得三角形AKG和三角形ABC相似．
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{t}{2}$，解得t=$\frac{2}{5}$，
∴t的取值范圍是（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）．
故選：B．

點評 考查空間圖形的想象能力，及根據相關的定理對圖形中的位置關系進行精準判斷的能力．