Question

5．已知f（x）=$\frac{x+a}{x-a}$e^x．
（Ⅰ）a=1時，求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）a=0且x＞0時，$\frac{f（x）}{lnf（x）}$+m＞0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在（-1，1）上單調遞減，求a的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，計算f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（Ⅱ）原式即$\frac{{e}^{x}}{x}$+m＞0，令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出函數的導數，得到g（x）的最小值，求出m的范圍即可；
（Ⅲ）求出函數的導數，問題轉化為x²-a²-2a≤0且a≠x，根據二次函數的性質得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$e^x，f′（x）=e^x$\frac{{x}^{2}-3}{{（x-1）}^{2}}$，
∴f（0）=-1，f′（0）=-3，
∴f（x）的切線方程是y+1=-3（x-0），
即3x+y+1=0；
（Ⅱ）當a=0時，f（x）=e^x，
∴lnf（x）=x，原式即$\frac{{e}^{x}}{x}$+m＞0，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$e^x，
∵x＞0，∴0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減，
x＞1時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
故g（x）_最小值=g（1）=e，
∴m＞-e；
（Ⅲ）∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}{-a}^{2}-2a}{{（x-a）}^{2}}$e^x，x≠a且f（x）在（-1，1）遞減，
∴$\frac{{x}^{2}{-a}^{2}-2a}{{（x-a）}^{2}}$e^x≤0在（-1，1）恒成立，
故只需x²-a²-2a≤0且a≠x，
故$\left\{\begin{array}{l}{1{-a}^{2}-2a≤0}\\{a≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1{-a}^{2}-2a≤0}\\{a≥1}\end{array}\right.$，
解得：a≥1或a≤-1-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．