Question

14．在矩形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，記△DEF三邊及內部組成的區域為Ω，$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，當點P在Ω上運動時，2x+3y的最大值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 以AB，AD所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的坐標系，不妨設AB=2a，AD=2b，根據向量的坐標運算可得m=2ax，n=2by，再根據線性規劃求出最大值．

解答 解：以AB，AD所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的坐標系，
不妨設AB=2a，AD=2b，
則A（0，0），B（2a，0），D（0，2b），
∵E、F分別為AB、BC的中點，
∴E（a，0），F（2a，b），
再設P（m，n），則0≤m≤2a，0≤n≤2b，
∵$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，
∴（m，n）=x（2a，0）+y（0，2b）=（2ax，2by），
∴m=2ax，n=2by，
∴設z=2x+3y=$\frac{m}{a}$+$\frac{3n}{2b}$，
∴n=-$\frac{2b}{3a}$m+$\frac{2b}{3}$z，
平移直線n=-$\frac{2b}{3a}$m+$\frac{2b}{3}$z，當與y軸上的截距最大時，此時z最大，
若經過點F（2a，b）時，最大，此時z=2a×$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$×b=$\frac{7}{2}$，
若經過點D（0，b）時，最大，此時z=0×$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{2b}$×2b=3，
綜上所述2x+3y的最大值為$\frac{7}{2}$，
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算和和線性規劃的問題，屬于中檔題