Question

4．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k{x}^{2}+2x-1，x∈（0，1]}\\{kx+1，x∈（1，+∞）}\end{array}\right.$有兩個不相等的零點x₁，x₂，則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的最大值為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 對k討論，當k=0，k＞0，函數f（x）僅有一個零點；當k＜0時，分別求出兩個零點，運用換元法，結合二次函數的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：由函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{k{x}^{2}+2x-1，x∈（0，1]}\\{kx+1，x∈（1，+∞）}\end{array}\right.$，
當k=0時，f（x）=0，僅有一根x=$\frac{1}{2}$，不符題意；
當k＞0時，x＞1時，f（x）無零點；
則0＜x≤1時，f（x）=0的兩根為x=$\frac{-2±\sqrt{4+4k}}{2k}$=$\frac{-1±\sqrt{1+k}}{k}$，
必有一個負的，也不符合題意；
故k＜0，由x＞1可得kx+1=0，即x₁=-$\frac{1}{k}$，-1＜k＜0；
由0＜x≤1時，f（x）=0即為k=$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，$\frac{1}{x}$≥1，
可得x₂=$\frac{1}{1+\sqrt{1+k}}$，
則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-k+1+$\sqrt{1+k}$，-1＜k＜0，
令t=$\sqrt{1+k}$，0＜t＜1，可得-k+1+$\sqrt{1+k}$=t-（t²-1）+1=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
當t=$\frac{1}{2}$即k=-$\frac{3}{4}$時，取得最大值$\frac{9}{4}$，
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查函數方程的轉化思想的運用，考查函數的零點的求法，注意運用分類討論和換元法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．