Question

10．西部大開發給中國西部帶來了綠色，人與環境日期和諧，群眾生活條件和各項基礎設施得到了極大的改善．西部地區2009年至2015年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數據如表：

年份	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
年份代號t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y關于x的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2009年至2015年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2017年農村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$（其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均值）．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，即可寫出線性回歸方程；
（2）由（1）中的線性回歸方程知，斜率k＞0，判斷純收入逐年增加，
再計算x=9時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由題意，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3；
所以回歸系數為
$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$
=$\frac{（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+…+3×1.6}{{（-3）}^{2}{+（-2）}^{2}+…{+3}^{2}}$
=0.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=4.3-0.5×4=2.3，
所以y關于x的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+2.3；
（2）由（1）中的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+2.3知，
斜率k=0.5＞0，
所以2009年至2015年該地區農村居民家庭人均純收入逐年增加，
平均每年增加0.5千元，
當x=9時，$\stackrel{∧}{y}$=0.5×9+2.3=6.8，
即預測該地區2017年農村居民家庭人均純收入為6.8千元．

點評 本題考查了計算平均數與線性回歸方程的應用問題，是中檔題．