Question

11．已知f（x）=cos²x-sin²x+$\frac{1}{2}$，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）銳角三角形△ABC中f（A）=0，a=$\sqrt{19}$，b=5．求△ABC的面積S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化簡f（x），根據正弦函數的性質可得f（x）的單調遞增區間．
（2）根據f（A）=0，求出角A的大小，即可求解△ABC的面積S_△ABC．

解答 解：f（x）=cos²x-sin²x+$\frac{1}{2}$，
化簡可得：f（x）=cos2x+$\frac{1}{2}$．
令-π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
得：$-\frac{π}{2}+kπ$≤x≤kπ．
∵x∈（0，π）．
∴（x）的單調遞增區間為[$\frac{π}{2}$，π）．
（2）∵f（A）=0，即cos2A+$\frac{1}{2}$=0．
可得：cos2A=-$\frac{1}{2}$．
∵△ABC是銳角三角形，
∴A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
得：5c=6+c²
∴c=2或3，
當c=2時，△ABC時鈍角三角形．
∴C=2（舍去）
那么：△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×5×3=\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了三角函數的化解能力和性質的運用以及余弦定理的計算．屬于基礎題．注意銳角三角形這條件．