Question

19．第96屆（春季）全國糖酒商品交易會于2017年3月23日至25日在四川舉辦．交易會開始前，展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數與餐廳所需原材料數量的關系，查閱了最近5次交易會的參會人數x（萬人）與餐廳所用原材料數量t（袋），得到如下數據：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
參會人數x（萬人）	11	9	8	10	12
原材料t（袋）	28	23	20	25	29

（Ⅰ）請根據所給五組數據，求出t關于x的線性回歸方程$\hat t=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）已知購買原材料的費用C（元）與數量t（袋）的關系為$C=\left\{\begin{array}{l}300t+20，（{0＜t＜35，t∈N}）\\ 290t，（{t≥35，t∈N}）\end{array}\right.$投入使用的每袋原材料相應的銷售收入為600元，多余的原材料只能無償返還．若餐廳原材料現恰好用完，據悉本次交易會大約有14萬人參加，根據（Ⅰ）中求出的線性回歸方程，預測餐廳應購買多少袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？（注：利潤L=銷售收入-原材料費用）．
（參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）由題意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值，從而得到回歸直線方程；
（2）由（Ⅰ）中求出的線性回歸方程，當x=14時，$\overline{t}$，根據分段函數C討論其利潤．

解答 解：（Ⅰ）由數據，求得$\overline x=\frac{9+11+12+10+8}{5}=10$，$\overline t=\frac{23+28+29+25+20}{5}=25$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{t_i}=11×2+9×23}+8×20+$10×25+12×29=1273，
$\sum_{i=1}^5{x_i^2={{11}^2}+{9^2}+{8^2}+}$10²+12²=510，
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{t_i}-n\overline x\overline t}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{1273-5×10×25}{{510-5×{{10}^2}}}=2.3$，
$\hat a=\overline t-$$\hat b•\overline x=2$，
∴t關于x的線性回歸方程為$\hat t=2.3x+2$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的線性回歸方程，當x=14時，$\hat t=34.2$，
即預計需要原材料34.2袋，
∵$C=\left\{\begin{array}{l}300t+20\\ 290t\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（{0＜t＜35，t∈N}），\\（{t≥35，t∈N}），\end{array}$
∴，若t＜35，利潤L=600t-（300t+20）=300t-20，
當t=34時，利潤L_max=300×34-20=10180元；
若t≥35，利潤L=600×34.2-290t=20520-290t，
當t=35時，利潤L_max=20520-290×35=10370元；
綜上所述，該餐廳應購買35袋原材料，才能獲得最大利潤，最大利潤是10370元．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法及應用，屬于基礎題