Question

14．現從某班的一次期末考試中，隨機的抽取了七位同學的數學（滿分150分）、物理（滿分110分）成績如表所示，數學、物理成績分別用特征量t，y表示，

特征量	1	2	3	4	5	6	7
t	101	124	119	106	122	118	115
y	74	83	87	75	85	87	83

（1）求y關于t的回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析數學成績的變化對物理成績的影響，并估計該班某學生數學成績130分時，他的物理成績（精確到個位）．
附：回歸方程$\widehaty=\widehatbt+\widehata$中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{t}$．${\sum_{i=1}^7{（{{t_i}-\overline t}）}^2}=432$．

Answer 1

分析 （1）求出樣本中心坐標，代入回歸直線方程，然后求解回歸直線方程．
（2）利用回歸直線方程判斷分析數學成績的變化對物理成績的影響，然后求解物理成績．

解答 解：（1）∵$\overline t=\frac{101+124+119+106+122+118+115}{7}=115$．…（2分）
$\overline y=\frac{74+83+87+75+85+87+83}{7}=82$．…．（4分）
設回歸方程為$\widehaty=\widehatbt+\widehata$，代入公式，經計算得$\widehatb=\frac{14×8+9×1+4×5+9×7+7×3+3×5+0×1}{196+81+16+81+49+9}=\frac{240}{432}=\frac{5}{9}$…（6分）$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t=82-\frac{5}{9}×115=\frac{163}{9}$，∴y關于t的回歸方程為$\widehaty=\frac{5}{9}t+\frac{163}{9}$…．（8分）
（2）∵$\widehatb=\frac{5}{9}＞0$，∴隨著數學成績的提高，物理成績會穩步增長，…..（9分）
當t=130時，$y=\frac{5}{9}×130+\frac{163}{9}=\frac{271}{3}≈90$．
所以，該班某學生數學成績130（分）時，他的物理成績估計為90（分）…..（12分）

點評 本題考查回歸直線方程的求法與應用，考查計算能力．