Question

6．設函數f（x）=e^x+sinx（e為自然對數的底數），g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若a=2，且直線x=t（t≥0）分別與函數f（x）和g（x）的圖象交于P，Q，求P，Q兩點間的最短距離；
（2）若x≥0時，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意可知f（t）=g（t），令h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），求出其導函數，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，等價于ϕ（x）≥0恒成立，求出其導函數，可求出φ（x）的單調性，進而可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）因為a=2，所以|PQ|=e^t+sint-2t．令h（x）=e^x+sinx-2x，
即h'（x）=e^x+cosx-2，因為h''（x）=e^x-sinx，
當x＞0時，e^x＞1，-1≤sinx≤1，所以h''（x）=e^x-sinx＞0，
所以h'（x）=e^x+cosx-2在（0，+∞）上遞增，所以h'（x）=e^x+cosx-2＞h'（0）=0，
∴x∈[0，+∞）時，h（x）的最小值為h（0）=1，所以|PQ|_min=1．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，
則ϕ'（x）=e^x-e^-x+2cosx-2a，S（x）=ϕ''（x）=e^x-e^-x-2sinx，
因為S'（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0當x≥0時恒成立，所以函數S（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴S（x）≥S（0）=0當x∈[0，+∞）時恒成立；
故函數ϕ'（x）在[0，+∞）上單調遞增，所以ϕ'（x）≥ϕ'（0）=4-2a在x∈[0，+∞）時恒成立．
當a≤2時，ϕ'（x）≥0，ϕ（x）在[0，+∞）單調遞增，即ϕ（x）≥ϕ（0）=0．
故a≤2時F（x）≥F（-x）恒成立．
當a＞2時，因為ϕ'（x）在[0，+∞）單調遞增，
所以總存在x₀∈（0，+∞），使ϕ（x）在區間[0，x₀）上ϕ'（x）＜0，即ϕ（x）在區間[0，x₀）上單調遞減，而ϕ（0）=0，
所以當x∈[0，x₀）時，ϕ（x）＜0，這與F（x）-F（-x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立矛盾，
所以a＞2不符合題意，故符合條件的a的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題主要考查了利用函數的導數求出函數的單調性以及函數的極值問題，考查了轉化思想、分類討論思想，屬于中檔題