Question

9．已知單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，0≤x≤$\frac{1}{2}$≤y≤1，則|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，不妨設$\overrightarrow{a}$=（-1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）+y$（\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）+$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
則|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|²=（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，再利用柯西不等式求解．

解答 解：單位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=0，不妨設$\overrightarrow{a}$=（-1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（如圖），
x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$=x（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）+y$（\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）+$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|²=（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，
由柯西不等式得=[（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）²]•[（$\sqrt{3}$）²+3²]≥[$\sqrt{3}$（-$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$）+3（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）]²=（3$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$）²
∵$\frac{1}{2}$≤y≤1，∴y=$\frac{1}{2}$時，（-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}$）²最小為$\frac{1}{16}$
則|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$+（1-x-y）$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了向量的模的取值范圍的求法，考查了不等式的性質，轉化思想，屬于中檔題．