Question

19．某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需要了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷量y（單位：）和利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費x_i（i=1，2，…，8）和年銷售量y_i數據進行了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\overline{w}$	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）2	$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）	$\sum_{i=1}^{n}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$）
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{{x}_{i}}$，$\overline{w}$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i
（1）根據散點圖判斷，$y=a+bx，y=c+d\sqrt{x}$哪一個更適合作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（3）已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z=0.2y-x，根據（2）的結果回答下列問題；
①當年宣傳費x=90時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
②當年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數據（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{μ}_{i}-\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{μ}$．

Answer 1

分析 （1）由散點圖成線性分布，即可得出判斷；
（2）先建立y關于w的線性回歸方程，再求y關于x的回歸方程；
（3）①由（2）計算x=90時年銷售量y的預報值和年利潤z的預報值，
②根據（2）的結果，利用二次函數的圖象與性質即可得出x為何值時z取得最大值．

解答 解：（1）根據散點圖即可得出判斷，
y=c+d$\sqrt{x}$適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型；
（2）令w=$\sqrt{x}$，先建立y關于w的線性回歸方程，
由于$\stackrel{∧}p9vv5xb5$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（w}_{i}-\overline{w}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}{（w}_{i}-\overline{w}）}^{2}}$=$\frac{108.6}{1.6}$=68，
$\stackrel{∧}{c}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}p9vv5xb5$$\overline{x}$=563-68×6.8=100.6，
所以y關于w的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68w，
因此y關于x的回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$；
（3）①由（2）知，當x=90時，年銷售量y的預報值為
$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{90}$=745.7，
年利潤z的預報值為
$\stackrel{∧}{z}$=745.7×0.2-90=59.14；
②根據（2）的結果可知，年利潤z的預報值
$\stackrel{∧}{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
當$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8，即x=46.24時z取得最大值，
故宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．

點評 本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的應用問題，準確的計算是解題的關鍵，屬中檔題．