Question

3．已知函數f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$，a∈R．
（1）若函數g（x）=（x-1）f（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，求a的范圍；
（2）當a≤-1時，證明：f（x）lnx＞0對于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：由函數g（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，等價于g′（x）=xe^x-a-1在（0，1）上有且僅有一個變號零點，構造輔助函數，根據函數的單調性，即可求得a的范圍；
（2）由題意，利用分析法，由結論可得 （x-1）（e^x-1）-ax≥0 在（0，+∞）恒成立，設g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞），利用導數研究函數g（x）單調性，則結論易得．

解答 解：（1）g（x）=（x-1）f（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈（0，1），
g′（x）=xe^x-a-1，
由函數g（x）在（0，1）上有且只有一個極值點，等價于g′（x）=xe^x-a-1在（0，1）上有且僅有一個變號零點，
令H（x）=xe^x-a-1，x∈[0，1]，
H′（x）=e^x（x+1），由x∈[0，1]，H′（x）＞0，
H（x）在[0，1]單調遞增，
∴H（0）=-a-1＜0，H（1）=e-a-1＞0，
解得：-1＜a＜e-1，
∴當-1＜a＜e-1時，函數g（x）在（0，1）上有且只有一個極值點；
（2）證明：f（x）lnx=（e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$）lnx，只需證：$\frac{1}{x-1}$•lnx[（x-1）（e^x-1）-ax]≥0 在 （0，1）∪（1，+∞） 上恒成立，
由x∈（0，1）∪（1，+∞） 時，$\frac{1}{x-1}$•lnx＞0恒成立，
∴只需證：（x-1）（e^x-1）-ax≥0 在（0，+∞）恒成立，
設g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞），
由g（0）=0  恒成立，
∴只需證：g（x）≥0 在[0，+∞），恒成立 g′（x）=xe^x-1-a，
g″（x）=（x+1）e^x＞0恒成立，
∴g′（x）單調遞增，g′（x）≥g′（0）=-1-a≥0，
∴g（x）單調遞增，g（x）≥g（0）=0，
∴g（x）≥0 在[0，+∞）恒成立，
∴f（x）lnx＞0對于任意x∈（0，1）∪（1，+∞）成立．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查利用導數求函數的單調性及極值，考查分析法證明不等式成立，考查轉化思想，屬于中檔題．