Question

12．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α為參數）．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為$ρcos（θ+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設點P為曲線C上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的極坐標方程轉化為$ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）=\sqrt{3}$，由此能求出直線l的直角坐標方程．曲線C的參數方程消去參數α，能求出曲線C的普通方程．
（Ⅱ）設點$P（3cosα，\sqrt{3}sinα）$為曲線C上任意一點，利用點到直線的距離公式及三角函數性質能求出點P到直線l的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）因為直線l的極坐標方程為$ρcos（θ+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，
即$ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ）=\sqrt{3}$，
∴直線l的直角坐標方程為$x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$．
曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$（α是參數），
利用同角三角函數的基本關系消去α，
可得曲線C的普通方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）設點$P（3cosα，\sqrt{3}sinα）$為曲線C上任意一點，
則點P到直線l的距離$d=\frac{{|3cosα-3sinα-2\sqrt{3}|}}{2}=\frac{{|3\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）-2\sqrt{3}|}}{2}$，
故當$cos（α+\frac{π}{4}）=-1$時，d取最大值為$\frac{{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查直線的直角坐標方程的求法，考查曲線的普通方程的求法，考查點到直線的距離的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．