Question

10．已知函數f（x）=x-$\frac{2a-1}{x}$-2alnx，（a∈R）
（Ⅰ）當a=$\frac{3}{2}$時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=$\frac{3}{2}$時，$f（x）=x-\frac{2}{x}-3lnx$，求出$f'（x）=1+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{{{x^2}-3x+2}}{x^2}=\frac{{（{x-1}）（{x-2}）}}{x^2}$，
      根據導數的符號確定單調區間．
（Ⅱ）要使f（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，只需：f（x）_min≥0，
     根據導數確定單調性，求出最值即可得到實數a的取值范圍

解答 解：（Ⅰ）當a=$\frac{3}{2}$時，$f（x）=x-\frac{2}{x}-3lnx$
則$f'（x）=1+\frac{2}{x^2}-\frac{3}{x}=\frac{{{x^2}-3x+2}}{x^2}=\frac{{（{x-1}）（{x-2}）}}{x^2}$，
此時：函數f（x）在（1，2）上單調遞減，在（0，1），（2，+∞）上單調遞增．…（5分）
（Ⅱ）要使f（x）≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，只需：f（x）_min≥0，
$f'（x）=1+\frac{2a-1}{x^2}-\frac{2a}{x}=\frac{{{x^2}-2ax+（{2a-1}）}}{x^2}=\frac{{（{x-1}）（{x-（{2a-1}）}）}}{x^2}$，
令f′（x）=0，得：x₁=2a-1，x₂=1，
①當2a-1≤1即a≤1時，函數f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
則f（x）在[1，+∞）單調遞增，于是f（x）_min=f（1）=2-2a≥0，解得：a≤1；
②當2a-1＞1即a＞1時，函數f（x）在[1，2a-1]單調遞減，在[2a-1，+∞）單調遞增，
于是f（x）_min=f（2a-1）＜f（1）=2-2a＜0，不合題意，此時：a∈∅；
綜上所述：實數a的取值范圍是{a|a≤1}…（12分）

點評 本題考查了利用導數求函數單調區間，函數的最值，屬于中檔題．