Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{b}$|=3，|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|，若|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，-3]∪[$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用向量模的性質(zhì)得出|$\overrightarrow{a}$|的范圍，根據(jù)|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|得出$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的關(guān)系，然后分情況解答，求出λ的取值范圍．

解答 ∵|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|，
∴，|$\overrightarrow{a}$|²=4（|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|）²，
∴3|$\overrightarrow{a}$|²-8$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4|$\overrightarrow{b}$|²=0
∴（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0
∴$\overrightarrow{a}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$或$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$
（1）當(dāng)$\overrightarrow{a}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$時(shí)，
∵|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立，
∴|$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立，
∴|$\frac{2}{3}$+λ|≥1
∴$\frac{2}{3}$+λ≥1或$\frac{2}{3}$+λ≤-1
∴λ≥$\frac{1}{3}$或λ≤-$\frac{5}{3}$．
（2）當(dāng)$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$時(shí)
∵|$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立，
∴|2$\overrightarrow{b}$+λ$\overrightarrow{b}$|≥3恒成立
∴|λ+2|≥1
∴λ≥-1或λ≤-3
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（-∞，-3]∪[$\frac{1}{3}$，+∞）
綜上所述λ的取值范圍為（-∞，-3]∪[$\frac{1}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．