Question

15．三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，則其外接球上的點到平面ABC的距離的最大值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 將PA、PB、PC可看作是正方體的一個頂點發出的三條棱，所以過空間四個點P、A、B、C的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對角線，求出對角線長，即為球的直徑，而球心O到平面ABC的距離為體對角線的$\frac{1}{6}$，然后求解結果即可．

解答 解：空間四個點P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1，
則PA、PB、PC可看作是正方體的一個頂點發出的三條棱，
所以過空間四個點P、A、B、C的球面即為的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對角線，長為$\sqrt{3}$，
球心O到平面ABC的距離為體對角線的$\frac{1}{6}$，即球心O到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
其外接球上的點到平面ABC的距離的最大值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點評 本題是基礎題，考查球的內接體知識，O到面ABC的距離的求法，考查空間想象能力，計算能力，分析出正方體的對角線就是球的直徑是解好本題的關鍵所在．