Question

7．正四面體ABCD的棱長為4，E為棱AB的中點，過E作此正四面體的外接球的截面，則截面面積的最小值是（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． 16π

Answer 1

分析 根據題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數據算出外接球半徑R，當球心O到截面的距離最大時，截面圓的面積達最小值，再利用球的截面圓性質可算出截面面積的最小值．

解答 解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示
可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，
∵正四面體ABCD的棱長為4，∴正方體的棱長為2$\sqrt{2}$，
可得外接球半徑R滿足2R=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$，R=$\sqrt{6}$．
E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，當球心O到截面的距離最大時，截面圓的面積達最小值，
此時球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，可得截面圓的半徑為r=$\sqrt{{R}^{2}-2}=2$．
得到截面圓的面積最小值為S=πr²=4π．
故選：A．

點評 本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面積最小值．著重考查了正方體的性質、球內接多面體和球的截面圓性質等知識，屬于中檔題．