Question

15．已知$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷函數f（x）的單調性，并用單調性定義證明之；
（Ⅲ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用函數的奇偶性定義判斷，先求函數的定義域，看是否關于原點對稱，若定義域關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）是相等還是相反即可；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），并利用指數的運算性質，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，即可證明f（x）是（-∞，+∞）上的增函數；
（Ⅲ）可運用分離常數的辦法求此函數的值域，將函數f（x）等價轉化為f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，再由復合函數值域的求法即換元法，求此函數值域即可．

解答 解：（Ⅰ）函數的定義域為R，
f（-x）+f（x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$+$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{（2}^{x}-1）{（2}^{-x}+1）+{（2}^{-x}-1）{（2}^{x}+1）}{{（2}^{x}+1）{（2}^{-x}+1）}$=0，
∴函數f（x）為奇函數；
（Ⅱ）f（x）是（-∞，+∞）上的增函數
證明：設x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∴a^x₁-a^x₂＜0，a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，
∴$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數；
（Ⅲ）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
設t=a^x，則t＞0，y=1-$\frac{2}{t+1}$的值域為（-1，1），
∴該函數的值域為（-1，1）．

點評 本題考察了函數奇偶性的定義和判斷方法，求函數值域的方法和證明函數單調性的方法，解題時要準確把握基本概念，熟練的運用轉化化歸思想解題