Question

5．如圖，在△ABC中，∠C=Rt∠，以頂點C為圓心，BC為半徑作圓．若$AC=4，tanA=\frac{3}{4}$求AB的長度為5；⊙C截AB所得弦BD的長為$\frac{18}{5}$．

Answer 1

分析 由題意可知：：∠C=90，AC=4，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，BC=3，利用勾股定理可知：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，過點C作AB垂線，垂足為E，由三角面積相等可知：CE×AB=AC×BC，即可求得CE=$\frac{12}{5}$，利用勾股定理求得BE，由BD=2BE，即可求得BD．

解答 解：由題意可知：∠C=90，AC=4，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=3，
∴在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
過點C作AB垂線，垂足為E，
∵CE×AB=AC×BC，
∴CE=$\frac{12}{5}$，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
BD=2BE=$\frac{18}{5}$，
故答案為：5，$\frac{18}{5}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查勾股定理的應用，考查數形結合思想，屬于中檔題．