Question

7．二次函數f（x）的圖象頂點為A（1，16），且圖象在x軸上截得線段長為8．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f（x）+（2a-2）x，求函數g（x）在x∈[0，2]的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據其頂點坐標用頂點式二次函數通式設拋物線的解析式，然后根據圖象在x軸上截得線段長是8，求得圖象與x軸交于（-3，0）和（5，0）兩點，代入拋物線中即可求得二次函數的解析式；
（2）先求出函數的解析式，確定函數的對稱軸，再結合函數的定義域進行分類討論．

解答 解：（1）∵二次函數f（x）的圖象頂點為A（1，16），
∴設二次函數解析式為f（x）=a（x-1）²+16．
又∵圖象在x軸上截得線段長是8，
∴圖象與x軸交于（-3，0）和（5，0）兩點．
∴a（-3-1）²+16=0，
∴a=-1，
∴所求二次函數解析式為f（x）=-x²+2x+15．
（2）g（x）=f（x）+（2a-2）x=（2a-2）x+f（x）=（2a-2）x+（-x²+2x+15）=-x²+2ax+15=-（x-a）²+a²+15．
對稱軸為x=a，
若a≤0時，g（x）在區間[0，2]上為單調減函數，∴g（x）的最小值g（0）=15．
1＜a＜2時，g（x）在區間[0，a]上為單調遞增函數，在[a，2]上為單調減函數，
∴x=0時，取得最小值，最小值g（a）=a²+15；
0≤a≤1，時，g（x）在區間[0，a]上為單調增函數，在[a，2]上為單調減函數，
∴當x=a時，取得最小值g（2）=a²+15；
a≥2時，g（x）在區間[0，2]上為單調增函數，
∴x=2時，g（x）取得最小值g（2）=11+4a．

點評 本題重點考查函數的解析式，考查函數的最值，解題的關鍵是利用待定系數法假設方程，利用函數對稱軸與定義域的關系，合理進行分類討論．