Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}+1，x＜1\\-{x^2}+ax，x≥1\end{array}$，若f（x）的值域為（-∞，3），則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． $[-2\sqrt{3}，-2）∪（2，2\sqrt{3}]$
• C． $[2，2\sqrt{3}）$
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 對x＜1和x≥1分別求解其值域判斷，可得實數a的取值范圍．

解答 解：由題意，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^x}+1，x＜1\\-{x^2}+ax，x≥1\end{array}$，
當x＜1時，1＜2^x+1＜3，∵f（x）的值域為（-∞，3），不滿足題意，顯然g（x）=-x²+ax，
當x≥1時，1≤g（x）_max＜3，顯然a≤0不成立，排除A，B，
當a=2時，g（x）=-x²+2x，g（x）_max=1成立；
當$a=2\sqrt{3}$時，$g（x）=-{x^2}+2\sqrt{3}x=-（{{x^2}-2\sqrt{3}x}）=-{（{x-\sqrt{3}}）^2}+3$，
g（x）_max=3，不符合題意，排除D，
故選C．

點評 本題考查指數函數的單調性，屬于函數函數性質應用題，采用排除法．屬于基礎題