Question

13．已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁＞1，且$6{S_n}={a_n}^2+3{a_n}+2$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若${b_n}=\frac{{{a_n}-1}}{2^n}$，求數列的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用數列的遞推關系式，轉化為a_n+1-a_n=3，說明數列是等差數列，然后求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）化簡數列的通項公式，利用錯位相減法求解數列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）由$6{S_n}={a_n}^2+3{a_n}+2$，n∈N^*，得，
所以$6{S_{n+1}}={a^2}_{n+1}+3{a_{n+1}}+2$，
兩式相減得$6{a_{n+1}}={a^2}_{n+1}-{a_n}^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}$
所以${a^2}_{n+1}-{a_n}^2-3{a_{n+1}}-3{a_n}=（{a_{n+1}}+{a_n}）[{{a_{n+1}}-{a_n}-3}]=0$
因為a_n＞0n∈N^*，所以a_n+1+a_n＞0，所以a_n+1-a_n=3，
由$6{a_1}={a_1}^2+3{a_1}+2$，所以a₁=1或a₁=2；
因為a₁＞1，所以a₁=2，
故a_n=2+3（n-1）=3n-1．                                                   …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=\frac{3n-2}{2^n}$
所以${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{4}{2^2}+\frac{7}{2^3}+…+\frac{3n-5}{{{2^{n-1}}}}+\frac{3n-2}{2^n}$…①
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\frac{7}{2^4}+…+\frac{3n-5}{2^n}+\frac{3n-2}{{{2^{n+1}}}}$…②
 ①②得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{3}{2^n}-\frac{3n-2}{{{2^{n+1}}}}=\frac{1}{2}+3•\frac{{\frac{1}{2^2}（{1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{3n-2}{{{2^{n+1}}}}$=$2-\frac{3n+4}{{{2^{n+1}}}}$
所以${T_n}=4-\frac{3n+4}{2^n}$．                               …（12分）

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列求和，考查計算能力．