Question

14．已知直線PA，PB分別與半徑為1的圓O相切于點A，B，PO=2，$\overrightarrow{PM}=2λ\overrightarrow{PA}+（1-λ）\overrightarrow{PB}$．若點M在圓O的內部（不包括邊界），則實數λ的取值范圍是（　　）

• A． （-1，1）
• B． $（0，\frac{2}{3}）$
• C． $（\frac{1}{3}，1）$
• D． （0，1）

Answer 1

分析 解法一，在線段PA的延長線上取點Q，使得PA=AQ，連接OQ，交圓于C，可得∠BOP=∠AOP=∠AOQ=60°，PB=$\sqrt{3}$，故B，O，Q三點共線，且BQ=3，2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{PQ}$，⇒$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BQ}$．由點M在圓O的內部（不包括邊界），∴0＜$λ＜\frac{2}{3}$
解法二：以O為原點，$\overrightarrow{OP}$的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，則P（2，0）
A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），設M（x₀，y₀），得${x}_{0}=\frac{1}{2}（1-3λ）$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}（3λ-1）$，
得$\frac{1}{4}（1-3λ）^{2}+\frac{3}{4}（3λ-1）^{2}＜1$，解得0＜$λ＜\frac{2}{3}$

解答 解法一：如圖，在線段PA的延長線上取點Q，使得PA=AQ，連接OQ，交圓于C，
由圓的半徑為1，PO=2可得∠BOP=∠AOP=∠AOQ=60°，PB=$\sqrt{3}$，故B，O，Q三點共線，且BQ=3
因為2$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{PQ}$，∴$\overrightarrow{PM}=2λ\overrightarrow{PA}+（1-λ）\overrightarrow{PB}$=λ$\overrightarrow{PQ}$+（1-λ）$\overrightarrow{PB}$．⇒$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BQ}$．
由點M在圓O的內部（不包括邊界），∴0＜$λ＜\frac{2}{3}$
故選：B

解法二：以O為原點，$\overrightarrow{OP}$的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，則P（2，0）
A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），設M（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{PM}=2λ\overrightarrow{PA}+（1-λ）\overrightarrow{PB}$．得${x}_{0}=\frac{1}{2}（1-3λ）$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}（3λ-1）$，
∵M（x₀，y₀）在圓O的內部（不包括邊界），∴$\frac{1}{4}（1-3λ）^{2}+\frac{3}{4}（3λ-1）^{2}＜1$，
整理得-1＜3λ-1＜1，解得0＜$λ＜\frac{2}{3}$
故選：B

點評 本題考查了平面向量的基本定理，向量的坐標運算，考查了轉化思想、數形結合思想，屬于中檔題．