Question

4．已知圓C：x²+y²-2ax-2y+2=0（a為常數(shù)）與直線y=x相交于A，B兩點，若∠ACB=$\frac{π}{3}$，則實數(shù)a=-5．

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC是等邊三角形列方程解出a．

解答 解：圓心C（a，1），半徑r=$\sqrt{{a}^{2}-1}$（a²＞1），
圓心C到直線y=x的距離d=$\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$，
∵若∠ACB=$\frac{π}{3}$，則△ABC是等邊三角形，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，即$\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3（{a}^{2}-1）}}{2}$，解得a=1（舍）或a=-5．
故答案為：-5．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．