Question

6．第96屆（春季）全國糖酒商品交易會于2017年3月23日至25日在四川舉辦．展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數與本店所需原材料數量的關系，在交易會前查閱了最近5次交易會的參會人數x（萬人）與餐廳所用原材料數量y（袋），得到如下數據：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
參會人數x（萬人）	11	9	8	10	12
原材料t（袋）	28	23	20	25	29

（Ⅰ）請根據所給五組數據，求出y關于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（Ⅱ）若該店現有原材料12袋，據悉本次交易會大約有13萬人參加，為了保證原材料能夠滿足需要，則該店應至少再補充原材料多少袋？
（參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$））

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據表中數據求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，即可求出$\stackrel{∧}{b}$，在求出$\stackrel{∧}{a}$，可得線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）的線性回歸方程，當x=12時，求出$\stackrel{∧}{y}$，減去12可得補充原材料的袋數．

解答 解：（Ⅰ）根據表中數據可得$\overline{x}$=$\frac{11+9+8+10+12}{5}=10$，$\overline{y}$=$\frac{28+23+20+25+29}{5}=25$．
則：$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$=（1×3）+（-1）×（-2）+（-2）×（-5）+0+2×4=23．
$\sum_{i=1}^{5}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=1+（-1）²+（-2）²+0+2²=10
由公式，得$\stackrel{∧}{b}$=2.3．
線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，代入可得$\stackrel{∧}{a}$=2．
∴y關于x的線性回歸方程為：$\stackrel{∧}{y}$=2.3x+2．
（Ⅱ）由題意，當x=12時，可得出$\stackrel{∧}{y}$=31.9
故而31.9-12=19.9≈20袋．
所以，該店應至少再補充原材料20袋．

點評 本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，屬于基礎題