Question

11．某公司為了準確地把握市場，做好產品生產計劃，對過去四年的數據進行整理得到了第x年與年銷量y（單位：萬件）之間的關系如表：

x	1	2	3	4
y	12	28	42	56

（Ⅰ）在圖中畫出表中數據的散點圖；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的散點圖擬合y與x的回歸模型，并用相關系數加以說明；
（Ⅲ）建立y關于x的回歸方程，預測第5年的銷售量約為多少？．
附注：參考數據：$\sqrt{\sum_{i=1}^4{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}≈32.6$，$\sqrt{5}≈2.24$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=418}$．
參考公式：相關系數$r=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}\sum_{i=1}^n{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}$，
回歸方程$\widehaty=\widehata+\widehatbx$中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在圖中畫出表中數據直接畫出散點圖；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的散點圖擬合y與x的回歸模型，計算y與x的相關系數近似為0.9996，說明y與x的線性相關程度相當，說明可以用線性回歸模型擬合y與x的關系；
（Ⅲ）求出回歸直線方程，然后求解第5年的銷售量．

解答 解：（Ⅰ）作出散點圖如圖：

（Ⅱ）由（Ⅰ）散點圖可知，各點大致分布在一條直線附近，由題中所給表格及參考數據得：$\overline x=\frac{5}{2}$，$\overline y=\frac{69}{2}$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=418}$，$\sqrt{\sum_{i=1}^4{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}≈32.6$，$\sum_{i=1}^4{x_i^2}=30$，$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）=\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}-\overline x\sum_{i=1}^4{y_i}=418-\frac{5}{2}×138=73}$，$\sqrt{\sum_{i=1}^4{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}=\sqrt{\sum_{i=1}^4{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}=\sqrt{30-4×{{（\frac{5}{2}）}^2}}=\sqrt{5}≈2.24$，$r=\frac{{\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^4{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}\sum_{i=1}^4{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}=\frac{73}{2.24×32.6}≈0.9996$．
∵y與x的相關系數近似為0.9996，說明y與x的線性相關程度相當大，
∴可以用線性回歸模型擬合y與x的關系．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：$\overline x=\frac{5}{2}$，$\overline y=\frac{69}{2}$，$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=418}$，$\sum_{i=1}^4{x^2}=30$，$\sum_{i=1}^4{（{x_i}-\overline x}{）^2}=5$，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}=\frac{73}{5}$，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=\frac{69}{2}-\frac{73}{5}×\frac{5}{2}=-2$，
故y關于x的回歸直線方程為$\widehaty=\frac{73}{5}x-2$，
當x=5時，$\widehaty=\frac{73}{5}×5-2=71$，
所以第5年的銷售量約為71萬件．

點評 本題考查回歸直線方程的應用，散點圖的畫法，考查計算能力．