Question

9．已知函數f（x）=[2sin（x+$\frac{π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）在[0，$\frac{5π}{12}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數中的恒等變換可化f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），從而可求其周期；
（2）x∈[0，$\frac{5π}{12}$]⇒2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數的單調性可求f（x）在[0，$\frac{5π}{12}$]上的最值．

解答 解：（1）原函數可化為：f（x）=（2sinx+$\sqrt{3}$cosx）cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
則f（x）的周期為π；
（2）x∈[0，$\frac{5π}{12}$]⇒2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，2]，
∴f（x）在x∈[0，$\frac{5π}{12}$]時，f（x）_min=-1，f（x）_max=2．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換中的應用，考查正弦函數的單調性與最值，屬于中檔題．