Question

20．如圖，在正三棱錐A-BCD中，AB=$\sqrt{5}$，點A到底面BCD的距離為1，E為棱BC的中點．
（1）求異面直線AE與CD所成角的大小；（結果用反三角函數值表示）
（2）求正三棱錐A-BCD的表面積．

Answer 1

分析 （1）作出棱錐的高，利用勾股定理和等邊三角形的性質計算底面邊長，再計算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；
（2）直接代入面積公式計算即可．

解答 解：（1）作AO⊥平面BCD，垂足為O，則O為等邊三角形△ABC的中心，AO=1，
連結OB，則OB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=2，
設△ABC的邊長為a，則OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$=2，
∴a=2$\sqrt{3}$．
連結OE，則OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{3}$=1，
取BD的中點F，連結EF，AF．則EF∥CD，EF=$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$，
∴∠AEF是異面直線AE與CD所成角，
∵AE=AF=$\sqrt{A{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴cos∠AEF=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴異面直線AE與CD所成角為arccos$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）三棱錐的表面積S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}×3$+$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×sin60°$=3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了棱錐的結構特征，線面角的計算，棱錐的表面積計算，屬于中檔題．