Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），已知點P在直線BC₁上運動．則下列四個命題：
①三棱錐A-D₁BC的體積不變；
②直線AP與平面ACD₁所成的角的大小不變；
③二面角P-AD₁-C的大小不變；
④M是平面A₁B₁C₁D₁內到點D和C₁距離相等的點，則M點的軌跡是直線AD₁
其中正確命題的編號是①③④．（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析 利用體積公式判斷①，利用向量計算夾角判斷②，根據二面角的定義判斷③，利用全等判斷④．

解答 解：對于①，顯然三棱錐A-D₁BC體積與P點位置無關，故①正確；
對于②，以D₁為坐標原點，建立如圖所示的空間坐標系，設正方體邊長為1，則$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，-1）為平面ACD₁的法向量，
而$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，-1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{D{B}_{1}}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{D{B}_{1}}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴AB，AC₁與平面ACD₁所成的角不相等，即當p在直線BC₁上運動時，AP平面ACD₁所成的角會發生變化，故②錯誤；
對于③，當P位置變化時，平面PAD₁的位置不發生變化，故二面角P-AD₁-C的大小不變，故③正確；
對于④，設Q為直線A₁D₁上任意一點，則Rt△QDD₁≌Rt△QC₁D₁，
∴QD=QC₁，
∴M的軌跡為直線AD₁，故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了棱柱的結構特征，空間線面位置關系的判斷，屬于中檔題．