Question

9．已知拋物線x²=4y與圓C：（x-1）²+（y-2）²=r²（r＞0）有公共點P，若拋物線在P點處的切線與圓C也相切，則r=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由x²=4y，求導，求得拋物線在P點處的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀，求得直線PC的斜率，由k_PC•k=1，求得P坐標，根據兩點之間的距離公式即可求得r．

解答 解：設點P（x₀，$\frac{1}{4}$${x}_{0}^{2}$），則由x²=4y，求導y′=$\frac{1}{2}$x，
∴拋物線在P點處的切線的斜率為k=$\frac{1}{2}$x₀，
∵圓（x-1）²+（y-2）²=r²（r＞0）的圓心的坐標為C（1，2），
∴k_PC=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}-2}{{x}_{0}-1}$，
∴k_PC•k=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}-2}{{x}_{0}-1}$•$\frac{1}{2}$x₀=-1，解得：x₀=2
∴P（2，1），
∴r=丨PC丨=$\sqrt{（1-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線和直線與圓的位置關系，考查導數與斜率的關系，考查了學生綜合應用知識的能力和知識的遷移能力，屬中檔題．