Question

19．已知函數f（x）=3^x，f（x）的反函數是f^-1（x）．
（1）當x∈[1，9]時，記g（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）+2，試求g（x）的最大值；
（2）若f^-1（54）=a+3，且h（x）=4^x-3^ax的定義域為[-1，1]，試判斷h（x）的單調性；
（3）若對任意x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）-m=h（x₂），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題知f^-1（x）=log₃x （x＞0），可得：y=g（x）=log₃²x-2log₃x+2，x滿足$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤9\\ 1≤x2≤9\end{array}$，通過換元利用二次函數的單調性即可得出．
（2）由f^-1（54）=a+3知，a=log₃2，可得h（x）=4^x-2^x，x∈[-1，1]．因此h（x）=$（{2}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，2^x∈$[\frac{1}{2}，1]$．利用二次函數與復合函數的單調性可得：h（x）在x∈[-1，1]上單調性．
（3）設y=f（x）-m的值域是M，y=h（x）的值域是N，可得M=[$\frac{1}{3}$-m，3-m]，N=[h（-1），h（1）]=[-1，2]，由題意，M⊆N．可得$\frac{1}{3}$-m≥$-\frac{1}{4}$，3-m≤2，解出即可得出．

解答 解：（1）由題知f^-1（x）=log₃x （x＞0）
∴y=g（x）=log₃²x-2log₃x+2，但$\left\{\begin{array}{l}1≤x≤9\\ 1≤x2≤9\end{array}$，∴1≤x≤3．
令t=log₃x，則t∈[0，1]，
此時y=t²-2t+2，易知當t=0時，y_max=2，即f（x）_max=2．
（2）由f^-1（54）=a+3知，a=log₃2，∴h（x）=4^x-2^x，x∈[-1，1]．
h（x）=（2^x）²-2^x=$（{2}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$．2^x∈$[\frac{1}{2}，1]$．
∴h（x）在x∈[-1，1]上單調遞增．
（3）設y=f（x）-m的值域是M，y=h（x）的值域是N，
則M=[$\frac{1}{3}$-m，3-m]，N=[h（-1），h（1）]=[-1，2]，依題意，M⊆N．
∴$\frac{1}{3}$-m≥$-\frac{1}{4}$，3-m≤2，解得m∈∅．即m的取值范圍是m∈∅．

點評 本題考查了反函數的求法及其性質、方程的解法、對數函數與二次函數的單調性、集合的運算性質、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．