Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且滿足a2-b2-c2+

3

bc=0，2bsinA=a，BC邊上中線AM的長為

14

．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式變形后代入求出cosA的值，確定出角A的度數，將2bsinA=a利用正弦定理化簡求出sinB的值，即可確定出角B的大小；
（Ⅱ）由A=B，利用等角對等邊得到AC=BC，設AC=BC=x，利用余弦定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AC與BC的長，再由sinC的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（Ⅰ）由a²-b²-c²+

3

bc=0得：a²-b²-c²=-

3

bc，即b²+c²-a²=

3

bc，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，
∵A為三角形內角，
∴A=

π

6

，
由2bsinA=a，利用正弦定理化簡得：2sinBsinA=sinA，即sinB=

1

2

，
則B=

π

6

；
（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=

2π

3

，
由余弦定理得AM²=x²+

x2

4

-2x•

x

2

•（-

1

2

）=14，
解得：x=2

2

，
則S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×2

2

×2

2

×

3

2

=2

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．