Question

某高校有獎勵基金本金1000萬元，此基金每年購買銀行的兩種風險和收益不同的理財產品A和B，把每年產生的收益用來獎勵品學兼優的大學生，本金繼續購買這兩種理財產品．第一年購買理財產品A和B各500萬元，為了規避風險以后規定：上一年購買產品A的本金，下一年會有20%購買產品B，而上一年購買產品B的本金，下一年會有30%購買產品A．用a_n，b_n（n∈N^*）分別表示在第n年購買理財產品A和B的本金數（單位：萬元）．
（1）分別求出a₂，b₂，a₃；
（2）①證明數列{a_n-600}是等比數列，并求a_n；②求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知a_n+b_n=1000，又a₁=500，b₁=500，可得a₂=0.8a₁+0.3b₁，b₂=1000-a₂，a₃=0.8a₂+0.3b₂．
（2）①由題意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，可得a_n+1=0.8a_n+0.3（1000-a_n）=0.5a_n+300，化為a_n+1-600=

1

2

（a_n-600），即可證明，利用通項公式即可得出；
②由①知，a_n+b_n=1000，可得bn=400+100×(

1

2

)n-1，利用等比數列的前n項和即可得出．

解答： （1）解：由已知a_n+b_n=1000，又a₁=500，b₁=500，
∴a₂=0.8a₁+0.3b₁=550，
∴b₂=450，
∴a₃=0.8a₂+0.3b₂=440+135=575．
（2）①證明：由題意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，
∴a_n+1=0.8a_n+0.3（1000-a_n）=0.5a_n+300，
∴a_n+1-600=

1

2

（a_n-600），
∴數列{a_n-600}是首項為-100，公比為

1

2

的等比數列，
∴a_n-600=-100×(

1

2

)n-1，
∴an=600-100×(

1

2

)n-1．
②解：由①知，a_n+b_n=1000，
∴bn=400+100×(

1

2

)n-1，
∴T_n=400n+

100[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=400n+200-200×

1

2n

．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．