Question

設命題p：非零向量

a

，

b

，|

a

|=|

b

|是（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）的充要條件：命題q：平面上M為一動點，A，B，C三點共線的充要條件是存在角α，使

MA

=sin²α

MB

+cos²α

MC

，下列命題①p∧q；②p∨q③￢p∧q；④￢p∨q．
其中假命題的序號是

 

．（將假命題的序號都填上）

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：平面向量及應用,簡易邏輯

分析：根據兩向量垂直的充要條件，數量積的運算，共線向量基本定量，向量的減法即可判斷命題p，q的真假，從而找出假命題的序號．

解答： 解：|

a

|=|

b

|時，(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=0；
∴(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)；
若(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)，則(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=0；
∴|

a

|=|

b

|；
∴|

a

|=|

b

|是(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)的充要條件；
∴命題p是真命題；
（1）若存在角α，使

MA

=sin2α

MB

+cos2α

MC

，則：

MA

-

MB

=(sin2α-1)

MB

+cos2α

MC

；
∴

BA

=cos2α

BC

；
∴A，B，C三點共線；
（2）若三點A，B，C共線，如圖，

存在實數λ＞0，使

BA

=λ

CB

；
∴

MA

-

MB

=λ(

MB

-

MC

)；
∴

MA

=(1+λ)

MB

-λ

MC

；
∴不存在角α使

MA

=sin2α

MB

+cos2α

MC

；
∴存在角α使

MA

=sin2α

MB

+cos2α

MC

是A，B，C三點共線的充分不必要條件；
∴命題q是假命題；
∴p∧q，￢p∧q，￢p∨q是假命題．
∴假命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點評：考查兩向量垂直的充要條件，向量數量積的運算，共線向量基本定理，以及sin²α+cos²α=1，充分條件、必要條件、充要條件、充分不必要條件的概念，p∧q，p∨q，￢p的真假和p，q真假的關系．