Question

點P為拋物線y²=2x上的任意一點，求點P到直線x-2y+4=0的最短距離．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據過P點作直線x-2y+4=0平行線，與拋物線y²=2x相切，
可以判斷此時P點到直線的 距離最近，與用導數求解得出P（2，2），再運用點到直線的距離即可．

解答： 解：過P點作直線x-2y+4=0平行線，與拋物線y²=2x相切，
可以判斷此時P點到直線的 距離最近，
P（x₀，y₀），
∵y²=2x，
∴y＞0時，y=

2x

，y′=

1

2x

，
∴

1

2x0

=

1

2

，x₀=2，y₀=2，
即P（2，2）
d=

|2-2×2+4|

12+22

=

2 5

5

，
故點P到直線x-2y+4=0的最短距離

2 5

5

．

點評：本題考查了直線與曲線的位置關系，借助導數判斷最值即可，關鍵求解導數確定點的坐標，難度不大，有點綜合．