Question

如圖所示，某傳動裝置由兩個陀螺T₁，T₂組成，陀螺之間沒有滑動．每個陀螺都由具有公共軸的圓錐和圓柱兩個部分構成，每個圓柱的底面半徑和高都是相應圓錐底面半徑的

1

3

，且T₁，T₂的軸相互垂直，它們相接觸的直線與T₂的軸所成角θ=arctan

2

3

．若陀螺T₂中圓錐的底面半徑為r（r＞0）．
（1）求陀螺T₂的體積；
（2）當陀螺T₂轉動一圈時，陀螺T₁中圓錐底面圓周上一點P轉動到點P₁，求P與P₁之間的距離．

Answer 1

考點：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）設陀螺T₂圓錐的高為h，可得h=

3

2

r，進而可得陀螺T₂圓柱的底面半徑和高為

r

3

，進而求出陀螺T₂的體積；
（2）設陀螺T₁圓錐底面圓心為O，可得

PP1

=2πr，進而利用弧長公式，求出圓心角，進而可得P與P₁之間的距離．

解答： 解：（1）設陀螺T₂圓錐的高為h，
則

r

h

=

2

3

，
即h=

3

2

r’
得陀螺T₂圓柱的底面半徑和高為

r

3

，
V柱=π(

r

3

)2

r

3

=

1

27

πr3
V椎=

1

3

πr2•

3

2

r=

1

2

πr3
VT2=V柱+V椎=

29

54

πr3

（2）設陀螺T₁圓錐底面圓心為O，

則

PP1

=2πr，
得∠POP1=

PP1

OP

=

2πr

3 2 r

=

4π

3

在△POP₁中，PP1=

3

OP=

3 3

2

r

點評：本題考查的知識點是旋轉體的體積公式，弧長公式，是三角函數與空間幾何的綜合應用，難度中檔．