Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，E在PD上，且PE=2ED，F是PC的中點，
（1）證明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求證：BF∥平面ACE；
（3）求三棱錐D-BCF的體積V．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）連接BD，交AC于O，由已知得AC⊥BD，PA⊥BD，BD⊥面PAC，由此能證明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）取PE的中點G，連BG，FG，由已知得BG∥OE，EG∥CE，從而平面BFG∥平面ACE，由此能證明BF∥平面ACE．
（Ⅲ）由V_D-BCF=V_F-BCD，利用等積法能求出三棱錐D-BCF的體積．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD，交AC于O，
因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD，BD⊥面PAC，
故平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）證明：取PE的中點G，連BG，FG，
由F是PC的中點，O是BD的中點，得
BG∥OE，EG∥CE，所以平面BFG∥平面ACE，
故BF∥平面ACE．
（Ⅲ）解：V_D-BCF=V_F-BCD
=

1

3

×S△BCD×

1

2

AP
=

1

3

×

1

2

×2×2×sin120°×

1

2

×2
=

3

3

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．