Question

設點M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知A（0，1），B（0，-1），且

MN

=λ

AB

．
（1）求動點C的軌跡E；
（2）（理科）若直線y=kx+b與曲線E交于不同的兩點P、Q，且滿足

OP

•

OQ

=0，求實數b的取值范圍．
（文科）若直線y=x+b與曲線E交于不同的兩點P、Q，且滿足

OP

•

OQ

=0，求實數b的取值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設點C（x，y ），運用重心坐標公式可得點M，由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的橫坐標等于

x

3

，又N在AB的中垂線上，故縱坐標等于0．由于NA=NC，可得方程，化簡可得軌跡方程，從而得到軌跡．
（2）（理科）把直線y=kx+b代入軌跡E的方程化簡，再由韋達定理，結合向量數量積為0，化簡整理，即可得到b的取值范圍；
（文科）把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡，再由韋達定理和判別式大于0，結合向量數量積為0，化簡整理，即可得到b的取值．

解答： 解：（1）設點C（x，y ），則點M（

0+0+x

3

，

1-1+y

3

 ），
即點M（

x

3

，

y

3

 ），
由

MN

=λ

AB

，可得 MN∥AB，故N的橫坐標等于

x

3

，
又N在AB的中垂線上，故縱坐標等于0．
由于N是不等邊△ABC的外心，∴NA=NC，
∴

( x 3 )2+1

=

( x 3 -x)2+y2

．
化簡可得，

x2

3

+y²=1，xy≠0，
故動點C的軌跡E是焦點在x軸上的標準位置的一個橢圓，去掉其頂點．
（2）（理科）將直線y=kx+b代入方程

x2

3

+y²=1（xy≠0），化簡可得，
（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0，由題意可得，
b≠0，b≠±1且△=（6kb）²-4（1+3k²）（3b²-3）＞0，
化簡得，b≠0，b≠±1且b²-1＜3k²，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

OP

•

OQ

=0，可得，
x₁•x₂+（kx₁+b）•（kx₂+b）=（1+k²）x₁•x₂+kb（x₁+x₂）+b²=0．
x₁+x₂=-

6kb

1+3k2

，x₁x₂=

3b2-3

1+3k2

，
即有（1+k²）•

3b2-3

1+3k2

+kb•（-

6kb

1+3k2

）+b²=0
解得，3k²=4b²-3，
則b≠0，b≠±1，4b²-3≥0，4b²-3＞b²-1，
解得，b≤-

3

2

或b≥

3

2

且b≠±1．
（文科）把直線y=x+b代入軌跡E的方程化簡可得  4x²+6bx+3b²-3=0．
由題意可得，b≠0，b≠±1，
且△=36b²-16（ 3b²-3）＞0，解得，b≠0，b≠±1且b²＜4，
x₁+x₂=-

3b

2

，x₁•x₂=

3b2-3

4

．
由

OP

•

OQ

=0，可得，
x₁•x₂+（x₁+b）•（x₂+b）=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0．
∴2•

3b2-3

4

+b•（

-3b

2

）+b²=0，解得 b²=

3

2

，
∴b=±

6

2

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關系，判斷軌跡E的形狀，是解題的易錯點．