Question

6．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．
（1）若a=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，且△ABC的面積S=2$\sqrt{3}$，求b，c的值；
（2）若sin（C-B）=sin2B-sinA，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據△ABC的面積S和余弦定理，組成方程組求出b、c的值；
（2）由題意，利用三角形的內角和定理與三角恒等變換公式，
化簡求值，得出$△\\;ABC$ABC的形狀．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：a=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面積S=2$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
可得：bc=8；…?①
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
代入化簡得：（b+c）²=36，
∴b+c=6；…②
  連立①②得：b=2，c=4或b=4，c=2；…6分
（2）由題意知：sin（C-B）=sin2B-sinA，
∴sin（C+B）+sin（C-B）=sin2B，
化簡得：sinCcosB=sinBcosB，
∴cosB=0或sinC=sinB； 
 又A，B∈（0，π），
 所以B=$\frac{π}{2}$ 或C=B；
 即$△\\;ABC$ABC為直角三角形或等腰三角形．…12分

點評 本題考查了正弦、余弦定理的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，是中檔題．