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14.在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),橢圓E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0),離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$,右焦點(diǎn)F到右準(zhǔn)線的距離為2,直線l過右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l與x軸垂直,C為橢圓E上的動點(diǎn),求CA2+CB2的取值范圍;
(3)若動直線l與x軸不重合,在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得PF始終平分∠APB?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析 (1)由題意得:$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=2}\end{array}\right.$,得a,b即可
(2)A(2,$\sqrt{2}$),B(2,-$\sqrt{2}$),設(shè)點(diǎn)C(x0,y0),則CA2+CB2=(x0-2)2+(y0-$\sqrt{2}$)2+(x0-2)2+(y0+$\sqrt{2}$)2=2x02+2y02-8x0+12,又點(diǎn)C在橢圓上,∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$,消去y0得CA2+CB2=${{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+20$,${x}_{0}∈[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$,即可求解.
(3)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P滿足題意,不妨設(shè)P(t,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由PF平分∠APB知:kAP+kBP=0,又kAP+kBP=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=$\frac{{y}_{1}({x}_{2}-t)+{y}_{2}({x}_{1}-t)}{({x}_{1}-t)({x}_{2}-t)}$=0,利用韋達(dá)定理即可求解.

解答 解:(1)由題意得:$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=2}\end{array}\right.$,得a=2$\sqrt{2}$,c=2,…(2分)
∵a2=b2+c2,∴b2=4,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.…(4分)
(2)當(dāng)直線AB與x軸垂直時,A(2,$\sqrt{2}$),B(2,-$\sqrt{2}$),設(shè)點(diǎn)C(x0,y0),
則CA2+CB2=(x0-2)2+(y0-$\sqrt{2}$)2+(x0-2)2+(y0+$\sqrt{2}$)2=2x02+2y02-8x0+12,
又點(diǎn)C在橢圓上,∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$,消去y0得CA2+CB2=${{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+20$,${x}_{0}∈[-2\sqrt{2},2\sqrt{2}]$,
∴CA2+CB2得取值范圍為[28-16$\sqrt{2}$,28+16$\sqrt{2}$].…(8分)
(3)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P滿足題意,不妨設(shè)P(t,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
設(shè)直線AB的方程為:x=my+2,聯(lián)列$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,消去x得(m2+2)y2+4my-4=0,
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-4m}{{m}^{2}+2}$,${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-4}{{m}^{2}+2}$,…(12分)
由PF平分∠APB知:kAP+kBP=0,…(13分)
又kAP+kBP=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=$\frac{{y}_{1}({x}_{2}-t)+{y}_{2}({x}_{1}-t)}{({x}_{1}-t)({x}_{2}-t)}$=0,
又x1=my1+2,x2=my2+t,得(2-t)(y1+y2)+2my1y2=0,
即(2-t)×$\frac{-4m}{{m}^{2}+2}$+2m×$\frac{-4}{{m}^{2}+2}$=0,得t=4,
所以存在點(diǎn)P(4,0)滿足題意.           …(16分)

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,方程思想、轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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