Question

3．設函數f（x）=x³-3ax+b．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值．
（2）在（1）的條件下求函數f（x）的單調區間與極值點．

Answer 1

分析 （1）根據導數的幾何意義，可得關于a，b的方程組，解出即可；
（2）首先求f′（x）=0的自變量的值，然后判斷導數為0的點的兩側的導數是不是變號，根據導數的符號得到函數的單調區間以及極值點．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3（4-a）=0}\\{8-6a+b=8}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=24}\end{array}\right.$；
（2）∵f′（x）=3x²-12，
由f′（x）=0，解得：x=±2，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
故f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
∴此時x=-2是f（x）的極大值點，x=2是f（x）的極小值點．

點評 本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．