Question

11．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）ⁿ的展開式中，前三項的系數成等差數列．
（1）求n的值；
（2）求展開式中含x項的系數．

Answer 1

分析 （1）利用二項展開式的通項公式求出通項，再根據等差數列的性質即可求出n的值，
（2）令x的指數為1時求出r，即得到x項的系數．

解答 解：（1）展開式的通項為（$\frac{1}{2}$）^rC_n^rx${\;}^{\frac{2n-3r}{4}}$
所以前三項的系數分別是1，$\frac{1}{2}$C_n¹，$\frac{1}{4}$C_n²，
據題意得1+$\frac{1}{4}$C_n²=2×$\frac{1}{2}$C_n¹，
整理得n²-9n+8=0
解得n=8，或n=1（舍去）
（2）展開式的通項為T_r+1=（$\frac{1}{2}$）^rC₈^rx${\;}^{\frac{16-3r}{4}}$，
令$\frac{16-3r}{4}$=1，解得r=4，
所以展開式中含x項的系數（$\frac{1}{2}$）⁴C₈⁴=$\frac{35}{8}$．

點評 本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．