Question

5．設S_n是數列{a_n}的前n項和，且a₁=-1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_{n+1}}}}={S_n}$，則a₁₀₀=$\frac{1}{9900}$．

Answer 1

分析 由題意可得a_n+1=S_nS_n+1=S_n+1-S_n，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，運用等差數列的通項公式可得S_n=-$\frac{1}{n}$，再由a₁₀₀=S₁₀₀-S₉₉，計算即可得到所求值．

解答 解：a₁=-1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_{n+1}}}}={S_n}$，
可得a_n+1=S_nS_n+1=S_n+1-S_n，
可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
即有S_n=-$\frac{1}{n}$，
則a₁₀₀=S₁₀₀-S₉₉=-$\frac{1}{100}$+$\frac{1}{99}$=$\frac{1}{9900}$．
故答案為：$\frac{1}{9900}$．

點評 本題考查數列的通項與求和的遞推關系，考查等差數列的通項公式的運用，以及運算能力，屬于中檔題．