Question

20．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{x+y≤6}\\{x≥1}\end{array}$，則z=log${\;}_{（{\frac{1}{2}}）}}$（2|x-2|+|y|）的最大值是（　　）

• A． ${log_{（{\frac{1}{2}}）}}7$
• B． ${log_{（{\frac{1}{2}}）}}5$
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據(jù)圖象，去掉絕對值，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由圖象知y＞0，x≤2，
設(shè)m=2|x-2|+|y|，
則m=y-2（x-2）=y-2x+4，
即y=2x+m-4，
平移直線y=2x，由圖象知當直線y=2x+z-4經(jīng)過點C時，直線的截距最小，此時z最小，
z=log${\;}_{（{\frac{1}{2}}）}}$（2|x-2|+|y|）最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{x+y=6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即C（2，4），
此時z=log${\;}_{（{\frac{1}{2}}）}}$（2|x-2|+|y|）=log${\;}_{（{\frac{1}{2}}）}}$4=-2，
故選：C．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)圖象確定x，y的范圍是解決本題的關(guān)鍵．