Question

10．已知雙曲線y²-$\frac{x^2}{a^2}$=1（a＞0）的漸進線與圓（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$相切，則a=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據圓方程，得到圓心坐標C（1，0），圓與雙曲線的漸近線相切，說明C到漸近線的距離等于半徑$\frac{\sqrt{3}}{2}$，列出方程求出a的值即可．

解答 解：圓（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$∴圓心坐標C（1，0），圓的半徑為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵雙曲線y²-$\frac{x^2}{a^2}$=1的漸近線為x±ay=0，
雙曲線y²-$\frac{x^2}{a^2}$=1（a＞0）的漸進線與圓（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$相切，
∴C到漸近線的距離為$\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：B．

點評 本題給出雙曲線的漸近線與已知圓相切，點到直線的距離公式，著重考查了直線與圓的位置關系和雙曲線的簡單性質等知識．