Question

19．已知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（a為常數）．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）若當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的最大值為4，求a的值；
（3）求出f（x）的對稱軸．

Answer 1

分析 （1）由題意利用正弦函數的單調性，求得f（x）的單調遞增區間．
（2）由題意利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值，再根據最大值為4，求得a的值．
（3）由題意利用正弦函數的圖象的對稱性，求得f（x）的圖象的對稱軸．

解答 解：（1）對于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得f（x）的單調遞增區間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）若當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）的最大值為2+a+1=4，∴a=1．
（3）令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得f（x）的對稱軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z．

點評 本題主要考查正弦函數的單調性、圖象的對稱性，定義域和值域，屬于基礎題．