Question

9．已知函數f（x）=lnx+ax²+bx（a，b∈R）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為4x-y-2=0．
（I）求a，b的值，
（II）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若函數g（x）=$\frac{f（x）}{x+1}$-x在區間[t，+∞）（t∈N^*）內存在極值，求t的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據切線方程得到關于a，b的方程組，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，判斷導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅲ）求出g（x）的解析式，得到1+$\frac{1}{t}$-lnt＞0，且?s∈[t，+∞），使得1+$\frac{1}{s}$-lns＜0，對t取值判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=ax²+bx+lnx的導數為f′（x）=2ax+b+$\frac{1}{x}$，
在點（1，f（1））處的切線斜率為k=2a+b+1，
由切線方程為y=4x-2，可得2a+b+1=4，且a+b=2，
解得a=b=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）故f（x）=lnx+x²+x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x+1＞0，
故f（x）在（0，+∞）遞增；
（Ⅲ）由（Ⅰ）g（x）=$\frac{lnx{+x}^{2}+x}{x+1}$-x=$\frac{lnx}{x+1}$，
g′（x）=$\frac{1+\frac{1}{x}-lnx}{{（x+1）}^{2}}$，
顯然1+$\frac{1}{x}$-lnx在（0，+∞）遞減，
故1+$\frac{1}{t}$-lnt＞0，且?s∈[t，+∞），使得1+$\frac{1}{s}$-lns＜0，
取s=e²，成立，
又需滿足1+$\frac{1}{t}$-lnt＞0，
又t∈N^*，
t=1時，2＞0成立，
t=2時，$\frac{3}{2}$-ln2＞0成立，
t=3時，1+$\frac{1}{3}$-ln3＞0成立，
t=4時，1+$\frac{1}{4}$-2ln2＜0，不成立，
故t的最大值是t=3．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道綜合題．