Question

19．已知函數f（x）=$\frac{{a{x^2}+bx+c}}{e^x}$（a＞0）的導函數y=f′（x）的兩個零點為0和3．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若函數f（x）的極大值為$\frac{10}{e^3}$，求函數f（x）在區間[0，5]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求導，在根據函數的零點得到：-ax²+（2a-b）x+b-c=0的兩根為0，3，根據韋達定理即可求出a，b，c的關系，根據導數和函數單調性的關系即可求出單調增區間，
（2）根據函數的單調性即可求出函數在閉區間上的最小值．

解答 解：f′（x）=$\frac{{-a{x^2}+（{2a-b}）x+b-c}}{e^x}$
令g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c
函數y=f′（x）的零點即g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c的零點
即：-ax²+（2a-b）x+b-c=0的兩根為0，3
則$\left\{\begin{array}{l}3=\frac{2a-b}{a}\\ o=b-c\end{array}\right.$解得：b=c=-a，
令f′（x）＞0得0＜x＜3
所以函數的f（x）的單調遞增區間為（0，3），
（2）由（1）得：$f（x）=\frac{{a{x^2}-ax-a}}{e^x}$
函數在區間（0，3）單調遞增，在（3，+∞）單調遞減，
∴$f{（x）_{極大}}=f（3）=\frac{5a}{e^3}=\frac{10}{e^3}$，
∴a=2，
∴$f（0）=\frac{-a}{e^0}=-2$；  $f（5）=\frac{19a}{e^5}=\frac{38}{e^5}＞0$，
∴函數f（x）在區間[0，4]上的最小值為-2．

點評 本題考查了韋達定理和導數函數的最值以及單調性的關系，屬于中檔題．